1º Passo

Crie um servidor e hospede o código no github, como por exemplo o Unicórnio Adivinha que tenho no meu Github: https://github.com/jonathan-santos/UnicornioAdivinha :
Tenha o código do servidor publicado no Github

2º Passo

Acesse o site do heroku (https://www.heroku.com/) e então crie uma conta ou faça o login:
Acesse o site do Heroku

3º Passo

Clique no botão New no canto superior direito do site:
Clique no botão New

4º Passo

Clique no botão Create new app:
Clique no botão Create new app

5º Passo

Dê o nome da aplicação e escolha uma região (se estiver no Brasil, recomendo o United States, pois será mais rápido)
Dê um nome e selecione a region

6º Passo

Agora na página do App, no grupo Deployment method clique na opção Github e após conectar com sucesso no seu github, selecione o repositório no grupo Connect to Github. Para selecionar o repositório é só colocar o nome dele e então clicar na opção connect:
Conecte com o seu repositório

7º Passo

Após selecionar o repositório, clique no botão Enable Automatic Deploys no grupo Automatic Deploys. Essa opção faz com que toda vez que façamos um commit no repositório do servidor no github, o Heroku automaticamente gere uma nova versão e a publique:
Ative Automatic Deploys

8º Passo

Quando ativado pela primeira vez, ele não publicará seu servidor automaticamente, isso só funcionará quando você fizer um commit no repositório do git, então clique no botão Deploy Branch, isso fará com que o Heroku publique nosso servidor agora:
Clique no botão Deploy Branch

9º Passo

Agora nosso servidor deve estar publicado! Para o ver funcionando (e ver o link onde foi publicado), é só clicar no botão Open app no canto superior direito da página:
Clique no botão Open app